LÓGICA MATEMATICAS Y TEORÍA DE CONJUNTOS
Motivación: El razonamiento matemático
ha tenido un desarrollo, a través de la historia, creciente, especialmente en
los últimos años. Pues finalizando el siglo XIX se dio el desarrollo de la
teoría de conjuntos por George Cantor, pasando al siglo XX con David Gilbert,
hasta nuestros días con Von Newman. Es realmente considerable, hasta el punto
que se ha llegado hablar de una
matemática nueva o moderna. Lo que ocurre con las matemáticas no es que sea
nueva sino estructurada y su desarrollo se ha basado en dos aspectos que son:
v Tener un lenguaje conjuntista
v Una fundamentación axiomática
En cuanto el lenguaje, el hombre para
expresar sus ideas ha utilizado los signos orales o escritos. El lenguaje
corriente a veces se presta a confusiones y a falsas interpretaciones.
Este ha sido un obstáculo en el avance
científico. Por ejemplo los fracasos que tenemos en la solución de problemas
matemáticos, se deben a la incapacidad para interpretar claramente las palabras
usadas en los enunciados. Por ello es tan importante tener un lenguaje claro y
preciso que nos permita afrontar con seguridad y éxito el estudio de las
matemáticas.
Los signos Cualquier idioma se construye con signos como a, b, c, … El significado de las oraciones depende de
las palabras y el de estas depende muchas veces de la posición de un solo
símbolo, o del contexto de la lectura; por ejemplo La palabra calle significa un vía y callé es del verbo callar
En cuanto la oración se sabe que para
que esta tenga sentido completo en nuestro idioma debe tener SUJETO (sobre
quien recae la acción) y PREDICADO (lo que se afirma o se niega del sujeto).
Como ejemplos de un lenguaje
matemático: 5+3 = 8; “a dividido con b
es c”
Como clases de signos tenemos:
El método axiomático
Se sabe que la aritmética y el álgebra
se desarrollaron a partir de loa necesidad de CONTAR; mientras que la geometría
y la trigonometría tuvo su origen por la necesidad de solucionar problemas de
medidas y de astronomía; el calculo fue inventado para solucionar ciertos
problemas de la física. Sin embargo más que las consideraciones de las
matemáticas, es de interés su NATURALEZA PROPIA.
Cuando una persona observa un fenómeno
su primera aproximación es la DESCRIPCIÓN.
Sin
1.
Elaborar
un conjunto de símbolos que puede ser un abecedario que ha de constituir el
lenguaje de la ciencia en común.
2.
Fijar
el significado de las palabras que se van a utilizar.
3.
Plantear
como verdadero un conjunto de oraciones o enunciados, que serán las bases o
fundamentos de la teoría que se va a desarrollar, los cuales se denominan axiomas
4.
Deducir
a partir de los axiomas, otros enunciados llamados teoremas. Estos teoremas son
consecuencia lógica de los axiomas. Para probarlos es necesario conocer las
reglas de la lógica
5.
Después
de probar los teoremas el científico trata de buscar aplicaciones a su teoría
en la naturaleza. Con este fin resuelve problemas y obtiene respuestas
concretas a las preguntas que surgen de sus investigaciones.
En conclusión el esquema de
los pasos del MÉTODO CIENTÍFICO se da
así:
Conceptos primitivos:
Hay conceptos matemáticos que son no definidos
como CONJUNTO, ELEMENTO, PERTENECE, PUNTO RECTA PLANO ESPACIO, VERDADERO,
ENUNCIADO pues presenta solo un significado intuitivo.
Hay conceptos matemáticos que a partir de conceptos no
definidos se definen, como el caso de la palabra:
PROPOSICIÓN: Es un enunciado o expresión de la que puede
decirse que es VERDADERA o FALSA, pero no las dos cosas a la vez. Se puede
decir con exactitud si es verdadera o falsa.
Por ejemplo:
1. En este país no hay pobres, ni
alfabetos
2. 2 + 4 es 6
3. ¿Cómo esta? ( es solo un
enunciado )
4. El sol es brillante y opaco al
mismo tiempo.
5. La pobreza es una virtud
6. Me gusta estudiar las
matemáticas.
Recuerda que las respuestas del valor de verdad de una
proposición dependen del conocimiento, experiencia y tiempo de evaluarla.
Las proposiciones se simbolizan con letras minúsculas p,
q, r,…
Las proposiciones pueden ser: Simples o Compuestas
Una proposición compuesta esta conformada por dos o más
proposiciones simples unidas por CONECTORES LÓGICOS
AHORA A VER VÍDEOS:
1.
https://co.video.search.yahoo.com/yhs/search;_ylt=A0geKWGWsIladiMAeFHXdAx.?p=VIDEOS+DE+L%C3%93GICA+MATEMATICAS&fr=yhs-dcola-001&fr2=piv-web&hspart=dcola&hsimp=yhs-001&type=gsp_microcosm_00_00#id=1&vid=a9187307f03fc57829c1b84c7d6835ec&action=view
2.
https://co.video.search.yahoo.com/yhs/search;_ylt=A0geKWGWsIladiMAeFHXdAx.?p=VIDEOS+DE+L%C3%93GICA+MATEMATICAS&fr=yhs-dcola-001&fr2=piv-web&hspart=dcola&hsimp=yhs-001&type=gsp_microcosm_00_00#id=4&vid=7da50d2347666d005a6bcece3fe228d8&action=view
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