PROPÓSITO EXPRESIVO: Que yo identifique los principales métodos para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas y resuelva un sistema de ecuaciones por el método grafico.
Ecuaciones lineales con dos incógnitas
AHORA LO INTENTO:
¿Sabes resolver ecuaciones como las siguientes?
(A) Si a = –1 y ab – a + 2b = 3, ¿cuánto vale b?
(B) Si a = b + 3 y 2a + b = 9, ¿cuánto vale b?
Observa atentamente el desarrollo de ambas ejercicios.
En la situación (A) reemplazamos a por –1 en la ecuación:
(–1) · b – (–1) + 2b = 3
–b + 1 + 2b = 3
b = 2
En la situación (B) reemplazamos el valor de a por b + 3 en la ecuación:
2a + b = 9:
2(b + 3) + b = 9
3b + 6 = 9
b = 1
Como te habrás dado cuenta, en ambos reemplazamos el valor de una de las variables (el cual puede ser numérico o algebraico) y lo reemplazamos en la otra ecuación.
¿Te acuerdas cómo se determina si un punto pertenece o no a una recta?
Debes reemplazar las coordenadas del punto en las correspondientes variables de la recta, si satisface la ecuación entonces el punto pertenece a la recta.
Por ejemplo el punto (–1, 2) pertenece a la recta x + 2y = 3, compruébalo reemplazando x por –1 e y por 2 en la ecuación de la recta.
¿Es cierto que el punto (2, –5) pertenece a la recta de ecuación: 2x – 3y = 19?
ELABORO EN MI CUADERNO:
1. Despejo las variables pedidas en las siguientes situaciones:
a) Si ax – b = c, despejo x. b) Si cx – by = 2, despejo y.
c) Si ax + by = c, despejo b. d) Si ax – bx = a, despejo x.
2. Si x = –2, determino el valor de y en las siguientes ecuaciones:
a) 2x – 3y = 5 b) 3x – y = 7 c)2X + 4Y = 1/5 d) 0,2x – 3y = 0,8
3. Determino el valor de la variable pedida, efectuando la sugerencia dada.
a) Determino b, si a = 1 – b y 2a – b = 5, para ello reemplazo el valor de a en la
segunda ecuación.
b) Determino y, si x – y = 4 y 2x + 3y = 13, despejando x de la primera ecuación y
reemplazándola en la segunda.
c) Si m – 2n = 0 y m – 3n = –2, despejo m de la primera ecuación y la reemplazo
en la segunda y determino n, después este valor obtenido lo reemplazo en la
primera ecuación y obtengo el valor de m.
Recuerdo que dos rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente.
4. Determino cual o cuales de las siguientes parejas de ecuaciones corresponden
a rectas paralelas:
a) 3x – 2y = 4 c) 4x – 2y = 1
–6x + 4y = 1 2x – y = 3
b) x – 2y = 12 d) 5x – 10y – 9 = 0
3x – y = 1 –x + 2y – 3 = 0
5. Determino si las siguientes afirmaciones son verdaderas o no.
a) El punto (–1, 3) pertenece a la recta de ecuación: 3x + y = 0.
b) El punto (–1, 4) pertenece a la recta de ecuación: 3x – 2y + 11 = 0.
c) El punto (2, 1) pertenece a las rectas de ecuaciones 3x – 2y – 4 = 0 y x – y = 1.
d) La recta de ecuación: 3x – y = 2 contiene a los puntos (2, 4) y (1, 1).
5ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Una tienda de música recaudó en una semana $ 360 000 por la venta de discos
compactos de reggaeton y de rock. El precio de los CD de reggaetón es $ 6 000 y
el de los CD de rock es $ 8 000.
ANALIZO Y CONTESTO:
⇢Si quisiera saber cuántos discos compactos de cada tipo de música se
vendieron, ¿cuáles son las variables del problema? ¿Podría plantear una ecuación para resolver la situación? ¿Cuál?⇢ ¿Es correcto afirmar que se vendieron 20 CD de reggaetón y 30 de rock? ¿Por
qué?⇢ ¿La situación anterior sólo tiene una solución? ¿Por qué ocurre esto?
Para resolver un problema como el presentado, es conveniente plantear o modelar
el problema a través de ecuaciones. Observo:
Sea x cantidad vendida de CD de reggaeton.
Sea y cantidad vendida de CD de rock.
Una ecuación que representa la situación anterior es:
6 000x + 8 000y = 360 000
Para esta ecuación, hay varias posibles soluciones. Una de ellas es:
x = 20 e y = 30 pues, 6 000x · 20 + 8 000x · 30 = 360 000
Sin embargo, no es la única solución; dando valores a x se pueden obtener
distintos valores de y. Observo la siguiente tabla.
Estas soluciones son correctas desde el punto de vista matemático; sin embargo,
para la situación planteada, sólo son pertinentes: x = 0 e y = 45;
x = 40 e y = 15; x = 60 e y = 0, ya que no es posible haber vendido 26,25 CD, por
ejemplo.
En general, si hay más incógnitas que ecuaciones, hay infinitas soluciones matemáticas; sin embargo, hay que evaluar su pertinencia en el contexto del problema.
Si a la situación anterior se agrega el hecho de que el total de discos compactos que se vendieron entre ambos grupos fue 55, se puede agregar una nueva ecuación al problema:
x + y = 55
Así pues, el problema se reduce ahora a resolver simultáneamente las siguientes ecuaciones:
6 000x + 8 000y = 360 000
x + y = 55
Por ahora, al observar la tabla anterior de posibles soluciones, se tiene que el par x = 40 e y = 15 es solución de ambas ecuaciones (40 CD de reggaeton y 15 CD de rock).
EN RESUMEN
Una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.
En cambio, una situación que se modela por una ecuación con dos incógnitas no tiene necesariamente infinitas soluciones, pues se debe comprobar la pertinencia de las soluciones encontradas.
RESUELVO EN MI CUADERNO:
1. Verifico si x = –1 e y = 8 son soluciones de las siguientes ecuaciones:
a. 2x + y = 6 b. 7x – y = 11 c. x – y = 7 d. x + y = 7
2. Planteo una ecuación para cada situación y encuentro, por tanteo, dos posibles soluciones en cada caso.
a. La suma de dos números es 25. ¿Cuáles son los números?
b. Un número más el doble de otro es 12. ¿Cuáles son los números?
c. Un número excede a otro en 10 unidades. ¿Cuáles son los números?
d. Una madre reparte entre sus dos hijos $ 5 000. ¿Cuánto le da a cada uno?
e. El perímetro de un rectángulo es 60 m. ¿Cuánto miden sus lados?
f. Dos ángulos son suplementarios. ¿Cuánto mide cada ángulo?
g. La razón entre las edades de dos hermanos es 2: 3. ¿Cuáles son las edades?
h. 8 litros de aceite y 10 litros de vinagre cuestan $ 10 500. ¿Cuál es el precio de cada litro de aceite y de vinagre?
i. En un teatro hay 46 personas, entre niños y niñas. ¿Cuántos niños y niñas hay?
j. Para hacer un queque, la razón entre la cantidad de tazas de harina y la cantidad de huevos es de 1 : 2. ¿Cuántas tazas de harina y cuántos huevos se necesitan para hacer un queque?
3. Encuentro, por tanteo, cuatro soluciones para cada ecuación lineal de dos incógnitas.
a. x – y = 10 b. 2x – 3y = 8
4. Para cada enunciado, escribo en lenguaje algebraico cada situación, definiendo el significado de cada variable.
a. Dos ángulos son complementarios. La medida de uno de ellos es el doble que el otro.
b. Dos números suman 34, y su diferencia es 8.
c. Un padre reparte entre sus dos hijos $ 56 000. Al hijo mayor le da la mitad que al hijo menor.
PLANTEO DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Catalina y Felipe preparan bombones de chocolate para vender. Para comprar todos los ingredientes disponen de $ 45 000. La materia prima necesaria para completar una caja grande les cuesta $ 500 y para una caja pequeña, $ 300.
• ¿Cuántas cajas de cada tamaño podrían completar?
• ¿Se puede representar algebraicamente esta situación?, ¿cómo?
• Esta ecuación ¿tiene más de una solución?, ¿cuántas?
• Si en esta ocasión Catalina y Felipe quieren completar 100 cajas en total, ¿Cómo afecta esto en la o las soluciones encontradas?
• Al agregar otra condición, ¿siempre es posible encontrar una solución?
Equipo Académico-Pedagógico Área Matemáticas | Colegios Arquidiocesanos de Cali
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Para representar algebraicamente esta situación, se asigna x a la cantidad de
cajas grandes e y a la cantidad de cajas pequeñas que Catalina y Felipe podrían
completar, entonces la condición que impone el dinero disponible se expresa
como:
500x + 300y = 45 000
Catalina propone preparar solo cajas grandes, entonces remplaza y = 0 en la
ecuación, y obtiene x = 90. Esta es una posibilidad. Por su parte, Felipe propone
preparar solo cajas pequeñas, es decir, x = 0, y por lo tanto y = 150.
Esta es otra posibilidad. Pero, también existen posibilidades intermedias. Por
ejemplo, si se remplaza x = 60, la ecuación queda: 30 000 + 300y = 45 000, por lo
que y = 50.
Como Catalina y Felipe quieren completar 100 cajas en total, se plantea una
segunda ecuación que representa esta condición:
x + y = 100.
Si Catalina y Felipe quieren completar 100 cajas, para saber cuántas cajas
grandes y cuántas pequeñas pueden completar con el dinero que disponen, se
debe cumplir simultáneamente:
500x + 300y = 45 000
x + y = 100
Este es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Una solución del sistema anterior es x = 75 e y = 25, que se puede expresar como
el par ordenado (75, 25). Más adelante aprenderás diferentes métodos de
resolución de sistemas de ecuaciones lineales, por ahora puedes verificar que
esta es la solución, remplazando los valores en ambas ecuaciones y viendo que
ambas se satisfacen.
Realmente, estos valores son la única solución posible de este sistema.
Catalina y Felipe no tienen más opciones que cumplan las dos condiciones
simultáneamente.
Definición:
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones
algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma:
Los sistemas de ecuaciones nos ayudan, por tanto, a plantear y resolver problemas parecidos al redactado en el párrafo anterior. Vamos pues a profundizar en el conocimiento y manejo del planteamiento y la resolución de estos problemas utilizando como herramienta los sistemas de ecuaciones.
Soluciones
En el ejemplo anterior, decíamos que buscábamos un par de números que cumplieran las dos ecuaciones del sistema. Pues bien, ese par de números (x, y) que satisface ambas ecuaciones de un sistema se llama solución del sistema de ecuaciones.
En el caso del problema que utilizamos como ejemplo, la solución vendría dada por el par de números (6, 4), es decir, x = 6 e y = 4. Por tanto, la respuesta del problema planteado sería que tengo seis lápices y cuatro gomas. Debemos insistir en que 6 y 4 no son dos soluciones del sistema, sino que es una solución y ésta está formada por dos números.
¿Quiere decir esto que siempre un sistema de ecuaciones tiene un par de números por solución? Pues no. En realidad, un poco más adelante veremos que un sistema de ecuaciones puede que no tenga solución, e, incluso, puede que tenga infinitas soluciones. Esto dependerá del tipo de sistema de que se trate.
Equivalencia de sistemas
Para poder hablar de sistemas equivalentes, vamos a hacerlo primero de ecuaciones equivalentes.
Supongamos que tenemos en una balanza un bote azul y dos verdes que pesan 7 kg. Esto lo podemos expresar como una ecuación de la forma: a + 2v = 7. Si en ambos platos de la balanza ponemos una pesa de 3 kg., la balanza seguirá equilibrada. Esta última acción se escribiría en la ecuación así: a + 2v + 3 = 7 + 3, es decir, a + 2v + 3 = 10. Estas dos ecuaciones tienen la misma solución y se dice que son ecuaciones equivalentes.
De la misma forma, si, en vez de sumar la misma cantidad, se multiplican los dos miembros de una ecuación por la misma cantidad, ambas ecuaciones tendrán la misma solución. Es decir:
Si se suma una misma cantidad a los dos miembros de una ecuación o se multiplican ambos por un mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.
Bien, pues una vez definido el concepto de ecuación equivalente, ya podemos definir el de sistemas equivalentes:
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la(s) misma(s) solución(es).
Aunque ya conozcamos la definición, debemos saber también qué operaciones nos permiten pasar de un sistema de ecuaciones a otro equivalente. Pues bien, son las siguientes:• Sumar un mismo número (no una incógnita) a ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema.• Multiplicar ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema por un número distinto de cero.• Sumar una ecuación a otra previamente multiplicada por un número cualquiera.• Despejar una incógnita en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
Mediante cualquiera de los métodos relacionados antes se obtiene un sistema
equivalente al dado y que, por tanto, tendrá las mismas soluciones que el
primitivo.
Tipos de sistemas:
I. Sistema compatible: es el que tiene solución. Dependiendo del número de
soluciones puede ser:
i. Sistema compatible determinado si tiene una única solución.
ii. Sistema compatible indeterminado si tiene múltiples soluciones.
II. Sistema incompatible: es el que no tiene solución.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:
Resolución de un sistema de ecuaciones
Resuelvo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas encontrando un par de
números (x, y) que cumplan a la vez las dos ecuaciones.
1. Al hacer el recuento de boletas en una librería, se constató que en una de ellas
se anotó un total de 40 lápices por un valor de $ 20 000. Si sólo hay dos tipos de
lápices a la venta:
a. ¿Se puede calcular cuántos lápices de cada tipo se vendieron?, ¿cómo?
b. ¿Qué ecuaciones plantearía? Comparto mi respuesta con mis compañeros y
compañeras.
2. En un monedero hay un total de $ 8 500 distribuidos en 33 monedas, de las
cuales 20 son de $ 100 y el resto son de $ 500. De acuerdo a estos datos, Pilar y
Mario escribieron dos sistemas de ecuaciones diferentes.
METODO GRAFICO
Resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas,
consiste en hallar el punto de intersección de las gráficas de Las ecuaciones lineales,
para ello es necesario graficar las dos ecuaciones en un mismo sistema de coordenadas
cartesianas.
P r o c e d i m i e n t o
1.- Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.
2.- Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la
tabla de valores correspondientes.
3.- Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4.- En este último paso hay tres posibilidades:
a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores
de las incógnitas (x,y)."Sistema compatible determinado". Caso1.
b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las
respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas.
"Sistema compatible indeterminado". Caso 2.
c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. "Sistema incompatible”.
Caso 3.
REALIZO LA ACTIVIDAD EN MI CUADERNO:
AHORA ME COMPROMETO A VER VIDEOS:
1. https://www.youtube.com/watch?v=8JpAJHHCotg
2. https://www.youtube.com/watch?v=eMug3FSoOZk
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