PROPÓSITO EXPRESIVO: Reconozca las diferentes unidades de medidas angulares y realice conversiones entre ellas (de grados a radianes y viceversa).
Medición de ángulos
Unidades de medida de ángulos
Trataremos con cierto detalle los dos sistemas de medición de ángulos de uso más frecuente: los grados sexagesimales y los radianes en el sistema circular.
Grados sexagesimales:
El sistema de medición más familiar es el de los grados sexagesimales, y por tal razón les llamamos simplemente grados (aunque también existen los grados centesimales). Su definición operacional, en contraste con lo que podría ser una definición conceptual, consiste en dividir un círculo mediante sucesivos radios, en 360 partes iguales (a modo de delgados trozos de pizza). Cada uno de esos sectores circulares subtiende, por definición, un ángulo de 1 grado sexagesimal, que denotamos como 1°.
Por el momento, solo consideraremos ángulos entre 0° y 360°, aunque en las secciones dedicadas a funciones trigonométricas, usaremos ángulos mayores que 360° y también ángulos negativos.
MINUTOS Y SEGUNDOS
Los grados pueden a su vez subdividirse en minutos y los minutos en segundos. Cada vez es más inusual esta subdivisión y la tendencia actual es a usar grados y fracciones decimales de ellos. En todo caso, vale la pena tener presente que las equivalencias están dadas por:
1 grado = 60 minutos 1 minuto = 60 segundo
En notación simbólica:
1° = 60´ 1´ = 60´´
Entonces, a modo de ejemplo, un ángulo podría medir 8 grados con 24 minutos y 32 segundos, lo que se acostumbra a escribir simbólicamente como: 8°24´32´´.
Sin embargo, como decíamos, es cada vez más universal trabajar con grados y décimas, centésimas, milésimas, etc. de grado, de tal manera que 9°30´ en notación tradicional, hoy se escribiría 9,5°.
Como 1° = 60’ y 1’ = 60’’, entonces:
1’ = ( 1 /60)°
1” = ( 1 /60)’ = ( 1 /3.600)°
r e s u e l t o s
1. Expreso en grados, minutos y segundos:
a) 14,8° b) 45,9° c) 121,28° d) 2,533°
Solución
a) Como 1° = 60’, entonces 0,8° = 0,8 • 60’ = 48’ 14,8° = 14°48’
b) 0,9° = 0,9 • 60’ = 54’ →45,9° = 45°54’
c) 121,28° = 121° + 0,28 • 60’ = 121° + 16,8’ = 121° + 16’ + 0,8 • 60’’ = 121° + 16’ + 48’’ → 121,28° = 121°16’48’’
d) 2,533° = 2° + 0,533 • 60’ = 2° + 31,98’ = 2° + 31’ + 0,98 • 60’’
= 2° + 31’ + 58,8’’
= 2°31’58,8’’
2. Expreso en grados:
a) 308°20’ b) 142°33’ c) 23°6’42’’ d) 57°14’21,3’’
Solución:
a) Como 1° = 60’ 1’ = ( 1 /60)° →20’ = 20 ( 1 /60)°, entonces 20’ = ( 1 /3)° = 0, 33°
Entonces: 308°20’ = 308,33 °
b) Como 1° = 60’ ⇒33’ = ( 33/ 60)° = 0,55° →142°33’ = 142,55°.
c) Como 1’ = ( 1/60)° → 6’ = ( 6/60)°= ( 1/10)°= 0,1°.
1” = ( 1/60)’ = ( 1/3600)° → 42” = ( 42/3600)° = 0,01016° → 23°6’42” = 23,1101 °
d) 57º14’21,3” = 57º + 14’ + 21,3”
14’ = ( 14/60)°= 0,23º 21,3” = ( 21,3/3600)°= 0,005916º
Entonces, 57º14’21,3” = 57º + 0,23º + 0,00591 º = 57,23925º
e) Expresemos en grados, minutos y segundos el ángulo que mide 30,28º.
30,28º = 30º + 0,28º
1º =60' entonces 0,28º = 60'x 0,28 = 16,80' = 16' + 0,80'
1' = 60'' entonces 0,80' = 60'' x 0,80 = 48''
Así obtenemos:
30,28º = 30º 16' 48''
AHORA LO INTENTO:
1. Escribo en grados (con sus respectivas cifras decimales) los siguientes valores de ángulos dados en grados, minutos y segundos:
a) 22°22’22” b) 46°39’59” c) 78°23’35,28” d) 3°7’12”
2. Transformo a grados, minutos y segundos los valores de los siguientes ángulos expresados en grados:
a) 44,5° b) 44,55° c) 44,5° d) 44,05°
3. Calculo en grados, minutos y segundos el ángulo que forman las manecillas del reloj a las 12:15. ¡Cuidado!, el resultado no es 90°, porque cuando el minutero ha avanzado 15 minutos, el horario también se ha desplazado algo.
4. ¿A qué hora entre las 6 y las 7, las manecillas del reloj forman un ángulo de 45°?
Radianes:
Cuando la medida de un ángulo es mayor que 360° el rayo en rotación ha completado al menos
una revolución. Por ejemplo, un ángulo de 375° tendrá el mismo lado terminal que un ángulo de
15°. De este modo, el lado terminal se encontrará en el primer cuadrante
EJEMPLOS
¿En qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de los siguientes ángulos?
1. 53° Primer cuadrante.
2. 253° Tercer cuadrante.
3. -126° Tercer cuadrante.
4. -373° Cuarto cuadrante
5. 460° Segundo cuadrante.
Intenta lo siguiente ¿En qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de los
siguientes ángulos? a.47° b. 212° c. -43° d. -135° e. 365° f. 740°
ACTIVIDAD No. 1
1. Dibujo sobre el plano cartesiano los siguientes ángulos en posición normal.
A. 30º B. 60º C. 45º D. 110º E. 235º F. 450º G. -120º
H. -150º I. -60º J. -270º K. -1080º L. -365º
2. Encuentro la medida de cada ángulo en grados. Luego, lo dibujo en el plano en Posición
normal.
A. Media rotación en el sentido de las manecillas del reloj.
B. Tres cuartos de rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj.
C. Cinco sextos de rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj.
D. Cinco octavos de rotación en el sentido de las manecillas del reloj.
E. Un quinto de rotación en el sentido de las manecillas del reloj.
3. Convierto a grados, minutos y segundos los siguientes valores: (sin calculadora)
A. 125,52º B. 38,44º C. 52,55º D. 66,66º E. 135,6º F. 89,325º
G. 14,125º H. 33,33 I. 29,234º J. 15,8º K. 39,62º L. 44,55º
4. Convierto a radianes cada uno de los ángulos expresados en grados.
A. 60º B. 45º C. 120º D. 240º E. 150º F. -225º
G. -350º H. -650º I. -700º J. 900º K. -240º L. 75º
5. Expreso en grados el valor de los siguientes ángulos:
3. En una circunferencia de 10 cm. de radio, un arco mide 6 cm. ¿Cuánto mide (en
grados y en radianes) el ángulo correspondiente?
4. En un hexágono regular calcula el valor del ángulo interior y el valor del ángulo
que forman dos diagonales que salen del mismo vértice y llegan a otros dos
consecutivos.
5. El radio de una circunferencia mide 6 cm. ¿Cuál es la longitud del arco
correspondiente a un ángulo de 20º?
AHORA ME DEDICO A VER LOS VÍDEOS Y EXTRAER LO MAS IMPORTANTE:
Hola, profesor. No puedo ver los vídeos.
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ResponderBorrary dónde están las respuestas?
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